Question

14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，-3），其顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD=90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴的定义求得b=-2，把点C的坐标代入求得c=-3；将一般式方程转化为顶点式方程即可得到点D的坐标；
（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；
（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA=PD=$\sqrt{10}$，又∠PAQ=90°，可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．

解答 解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x=1，则-$\frac{b}{2}$=1，b=-2．
又二次过点C（0，-3），
∴-3=c，c=-3．
即二次函数解析式为：y=x²-2x-3
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，得
顶点坐标D为：（1，-4）；

（2）（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，PD=$\sqrt{1+（m+4）^{2}}$，AD=2$\sqrt{5}$，
∵∠APD=90°，∴PA²+PD²=AD²，即（$\sqrt{9+{m}^{2}}$）²+（$\sqrt{1+（m+4）^{2}}$）²=（2 $\sqrt{5}$）²
解得m₁=-1，m₂=-3（不合题意，舍去）．
∴P（0，-1）；

解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得  DE=1，OE=4…（1分）
由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，
由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°，
∴△OAP∽△EPD
∴$\frac{OA}{PE}$=$\frac{OP}{ED}$，
设OP=m，PE=4-m
则$\frac{3}{m}$=$\frac{4-m}{1}$，
解得m₁=1，m₂=3（不合题意，舍去），
∴P（0，-1）；

（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA=AQ=PD=QD=$\sqrt{10}$，∠PAQ=90°，
∴四边形APDQ为正方形．
由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA
∴△AOP≌△AHQ，
∴AH=OP=1，QH=OA=3．
∴Q（4，-3）；
解法二：
设Q（m，n），
则AQ=$\sqrt{（m-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{10}$，QD=$\sqrt{（m-1）^{2}+（n+4）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}=4}\\{{n}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=0}\\{{n}_{2}=-1}\end{array}\right.$（不合题意，舍去），
∴Q（4，-3）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求二次函数解析式，由解析式求顶点坐标，利用勾股定理列方程或利用三角形相似，得出比例式，求出相关点的坐标．