Question

17．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁，BC₁，若∠ACB=30°，AB=2，CC₁=x（0＜x＜4），△ACD 与A₁C₁D₁重叠部分的面积为S，则下列结论：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②当x=2时，△BDD₁为直角三角形；
③在平移过程中，四边形ABC₁D₁始终是平行四边形；
④S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-4）²（0＜x＜4），
其中正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，从而证出结论；
②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形，最后用平行线的性质即可；
③由矩形的性质和平移的性质即可得出结论；
④易得△AC₁F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．．

解答 解①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁与△CC₁B中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$，
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS），
故①正确；
②如图所示

当x=2时，
∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=2，
∴AC=4，
∵x=2，
∴AC₁=2，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥D₁C₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形，
∴BD₁⊥AC，
∵DD₁∥AC，
∴DD₁⊥BD₁，
∴△BDD₁为直角三角形；
故②正确；
③由矩形性质得，AB=A₁C₁，AB∥A₁C₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，
故③正确；
④∵S△ACD=$\frac{1}{2}$AB×BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
易得△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{S}{{S}_{△ACD}}$=（^{$\frac{4-x}{4}$）2}
解得：S=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-4）² （0＜x＜4）；
故④错误；
即：正确的有①②③，
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．