Question

如图，点F是△ABC中AC边上的中点，AD∥BC，DF交AB于E，交BC延长线于G，
（1）若BE：AE=3：1，BC=8，求BG的长；
（2）若∠1=∠2，试证：FC²=FE•FD．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，点F是AC边上的中点，可证△ADF≌△CGF，得AD=CG，再由BE：AE=3：1及AD∥BC，得BG=3AD，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG；
（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG，又对顶角∠AFE=∠GFC，可证△AFE≌△GFC，利用相似比证题．

解答：（1）解：∵AD∥BC，AF=FC，
∴△ADF≌△CGF，
∴AD=CG，FG=FD，
又∵BE：AE=3：1，AD∥BC，
∴BG=3AD，
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；

（2）证明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG，
又∵∠AFE=∠GFC，
∵AF=FC，
∴△AFE∽△GFC，
∴

EF

CF

=

AF

FG

，
即

EF

CF

=

CF

FD

，
∴FC²=FE•FD．

点评：本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．