Question

14．阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB²+AC²=2AD²+2BD²．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
同理可得：AC²=AE²+CE²，AD²=AE²+DE²，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB²+AC²=AE²+BE²+AE²+CE²=…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=$\sqrt{10}$；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2$\sqrt{2}$，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为4；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5$\sqrt{5}$，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，同理可得：AC²=AE²+CE²，AD²=AE²+DE²，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，根据勾股定理即可证明；
（2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可解决；
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．利用中线定理求出DE，再利用三边关系即可解决问题；

解答 解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
同理可得：AC²=AE²+CE²，AD²=AE²+DE²，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，

∴AB²+AC²=2AE²+（x+y）²+（x-y）=2AE²+2x²+2y²、
=2AE²+2BD²+2DE²=2AD²+2BD²．

（2）①∵AB²+AC²=2AD²+2BD²，
∴6²+4²=2AD²+2×4²，
∴AD=$\sqrt{10}$
②如图3中，

∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF²+2AE²=AF²+OF²，
2AF²+2BF²=AB²+AC²，
OF²=OB²-BF²，
∴4EF²=2OB²-4AE²=2OB²-OA²，
∴EF=²=$\frac{1}{2}$OB²-$\frac{1}{4}$OA²=16，
∴EF=4（负根以及舍弃），
故答案为$\sqrt{10}$．4．

（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．

由（2）的②可知：DE═$\frac{1}{2}$OB²-$\frac{1}{4}$OA²=$\frac{15}{2}$，
在△ADE中，AE=$\frac{5}{2}$，DE=$\frac{15}{2}$，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为$\frac{5}{2}$+$\frac{15}{2}$=10．

点评 本题考查圆综合题、中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．