Question

18、证明：有无穷多个n，使多项式n²+n+41
（1）表示合数；
（2）为43的倍数．

Answer 1

分析：（1）先把原式化为n（n+1）+41的形式，再设n=41k或n=41k-1，代入代数式即可得到关于k的式子，由合数的定义即可解答；
（2）设n²+n+41=43k，（k是正整数），再把方程左边因式分解，由合数的定义即可解答．

解答：证明：（1）要使n（n+1）+41是合数．
则只要n（n+1）是41的倍数就可以．
要使n（n+1）是41的倍数，则n=41k或n=41k-1，
当n=41k（k为自然数）时，原式=41k²+41k++41=41（k²+k+1），
同理，当n=41k-1时，原式=41k²+41k++41=41（k²+k+1），
满足此条件的自然数k有无数个，所以对应的n也有无穷多个；
（2）使多项式n²+n+41为43的倍数，
设n²+n+41=43k，（k是正整数）
n²+n-2=43（k-1），
（n+2）（n-1）=43（k-1），
要使n（n+1）+41是43的倍数，
则只要（n+2）（n-1）是43的倍数就可以．
则n=43k-2或n=43k+1（k=0、1、2、3…），
当n=43k-2时，原式=（43k）²+3×43k+43=43（k²+3k+1），
同理可得，当n=43k+1时，原式=（43k）²+3×43k+43=43（k²+3k+1），
满足此条件的k有无穷多个，
故表示为43的倍数的n也有无穷多个．

点评：本题考查的是质数与合数，熟知合数的定义是解答此题的关键．