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    17．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N．

    （1）观察图1，直接写出∠AEM与∠BNE的关系是∠AEM+∠BNE=90°；（不用证明）
    （2）如图1，当M、N都分别在AB、BC上时，可探究出BN与AM的关系为：BN⊥AM，BN-AM=2；（不用证明）
    （3）如图2，当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式是否仍然成立？若成立，请说明理由：若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．

    分析 （1）由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质定理可得∠DEN=∠BNE，由∠MEN=90°，易得∠AEM+∠DEN=90°，可得∠AEM+∠BNE=90°；
    （2）由矩形的性质可得BN⊥AM，过E作EF⊥BC于F，由E是AD的中点可得，AD=2AB=4，易得AE=EF，易得Rt△AEM≌Rt△FEN，由全等三角形的性质可得AM=FN，易得BN-AM=BN-FN=BF=2；
    （3）同（2）可证得结论．

    解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠DEN=∠BNE，
    ∵∠MEN=90°，
    ∴∠AEM+∠DEN=90°，
    ∴∠AEM+∠BNE=90°，
    故答案为：∠AEM+∠BNE=90°；


    （2）BN⊥AM，BN-AM=2；
    证明：如图1，∵四边形ABCD为矩形，
    ∴BN⊥AM，
    过E作EF⊥BC于F，
    ∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点
    ∴AE=EF=AB=BF=2，
    ∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
    ∴∠AEM=∠NEF，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEF}\\{AE=EF}\\{∠A=∠EFN}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
    ∴AM=FN，
    ∴BN-AM=BN-FN=BF=2；
    故答案为：BN⊥AM，BN-AM=2；


    （3）当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式仍然成立．
    证明：如图2，∵四边形ABCD为矩形，
    ∴BN⊥AM，
    过E作EF⊥BC于F
    ∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，
    ∴AE=EF=AB=BF=2，
    ∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
    ∴∠AEM=∠FEN，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEF}\\{AE=EF}\\{∠A=∠EFN}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
    ∴AM=FN，
    ∴BN-AM=BN-FN=BF=2．

    点评 本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，作出恰当的辅助线构建全等三角形是解答此题的关键．

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