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    如图,在平面直角坐标系中,顶点为（4,1）的抛物线交轴于点,交轴于,两点（点在点的左侧）,已知点坐标为（6,0）.

    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）联结AB,过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切,先补全图形,再判断直线与⊙的位置关系并加以证明；
    （3）已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间.问：当点运动到什么位置时,的面积最大？求出的最大面积.
    （1）抛物线的解析式为；
    （2）直线BD与⊙相离；
    （3）的最大面积是.

    试题分析：（1）根据顶点坐标列出顶点式，再将C点坐标代入即可；
    （2）先求出圆的半径，再借助三角形相似，求出C到直线的距离，比较他们的大小即可；
    （3）过点作平行于轴的直线交于点.设出点坐标，求出PQ的值，再表示出
    的面积，借助函数关系式求出最值.
    试题解析：（1）∵抛物线的顶点为（4,1）,
    ∴设抛物线解析式为.
    ∵抛物线经过点（6,0）,
    ∴.
    ∴.
    ∴.
    所以抛物线的解析式为；
    (2)补全图形、判断直线BD与⊙相离
    令=0,则,. 
    ∴点坐标（2,0）.
    又∵抛物线交轴于点,
    ∴A点坐标为（0,-3）,
    ∴.
    设⊙与对称轴l相切于点F,则⊙的半径CF=2,
    作⊥BD于点E,则∠BEC=∠AOB=90°.

    ∵,
    ∴.
    又∵,
    ∴.
    ∴∽,
    ∴.
    ∴,
    ∴.
    ∴直线BD与⊙相离；
    (3)如图,过点作平行于轴的直线交于点.

    ∵A（0,-3）,（6,0）.
    ∴直线解析式为.
    设点坐标为（,）,
    则点的坐标为（,）.
    ∴PQ=-()=.
    ∵,
    ∴当时,的面积最大为 
    ∵当时,=
    ∴点坐标为（3,）.
    综上：点的位置是（3,）,的最大面积是.
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