Question

13．如图，A（0，6），B（-4，0），点B关于y轴的对称点为C点，△ABD的面积是30．
（1）求点D坐标．
（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为t秒，△APC的面积为S，求S与t的关系式．
（3）在（2）的条件下，同时点Q从D点出发沿y轴正方向以每秒2个单位速度匀速运动，若点R在过A点且平行于x轴的直线上，当△PQR为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的t值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式求出AD即可．
（2）分两种情形①当0＜t≤8时，②当t＞8时，求出△PAC面积即可．
（3）分三种情形①如图1中，当∠QPR=90°，PQ=PR时，作RH⊥OP于H，②如图2中，当∠PQR=90°，QR=PQ时，③如图3中，当∠QRP=90°，QR=PR，利用全等三角形的性质列出方程即可解决．

解答 解：（1）∵A（0，6），B（-4，0），△ABD的面积是30，
∴$\frac{1}{2}$•AD•BO=30，
∴$\frac{1}{2}$•AD•4=30，
∴AD=15，
∴OD=9，
∴点D坐标为（0，-9）．
（2）∵点B（-4，0）关于y轴的对称点为C点，
∴点C坐标（4，0），
∴当0＜t≤8时，S=$\frac{1}{2}$×（8-t）×6=-3t+24，
当t＞8时，S=$\frac{1}{2}$×（t-8）×6=3t-24．
（3）①如图1中，当∠QPR=90°，PQ=PR时，作RH⊥OP于H，
∵∠QPO+∠RPH=90°，∠QPO+∠PQO=90°，
∴∠PQO=∠RPH，
在△PQO和△RPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POQ=∠PHR=90°}\\{∠PQO=∠RPH}\\{PQ=PR}\end{array}\right.$，
∴△PQO≌RPH，
∴RH=PO，
∵四边形AOHR是矩形，
∴RH=AO=6，
∴OP=6，
∴t-4=6，
∴t=10．
②如图2中，当∠PQR=90°，QR=PQ时，
∵∠RQA+∠OQP=90°，∠OQP+∠OPQ=90°，
∴∠RQA=∠OPQ，
在△ARQ和△OQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠RAQ=∠POQ}\\{∠RQA=∠OPQ}\\{QR=PQ}\end{array}\right.$，
∴△ARQ≌△OQP，
∴OP=AQ，
∴t-4=2t-15，
∴t=11．
③如图3中，当∠QRP=90°，QR=PR，
∵∠RQA+∠PRH=90°，∠PRH+∠RPH=90°，
∴∠QRA=∠RPH，
在△AQR和△HRP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QRA=∠RPH}\\{∠QAR=∠RHP}\\{QR=PR}\end{array}\right.$，
∴△AQR≌△HRP，
∴AQ=RH，AR=PH=AO=6，
∴OP=AH=RH-AR=AQ-AR=AQ-6
∴t-4=2t-15-6，
∴t=17．
综上所述t=10秒或11秒或17秒时，△PQR是等腰直角三角形．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出图形，利用全等三角形性质解决问题，学会分类讨论，用方程的思想去思考问题，属于中考压轴题．