Question

18．设方程2x²-6x+1=0的两根为x₁、x₂，不解方程，求下列各式的值；
（1）（x₁-3）（x₂-3）；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=3，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
（1）利用乘法公式展开得到原式=x₁x₂-3（x₁+x₂），然后利用整体代入的方法计算；
（2）先通分，再利用完全平方公式变形得到原式=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=3，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
（1）原式=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=$\frac{1}{2}$-3×3+9=$\frac{1}{2}$；
（2）原式=$\frac{{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}+{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$=$\frac{{3}^{2}-2×\frac{1}{2}+3}{\frac{1}{2}+3+1}$=$\frac{22}{9}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．