Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒

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cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，求t的值．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,勾股定理,菱形的性质

专题：几何图形问题,动点型

分析：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，AP=

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t，BQ=t，（0≤t＜6），由△ABC为直角三角形得∠A=∠B=45°，则可判断△APE和△PBD为等腰直角三角形，所以PE=AE=

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AP=t，BD=PD，则CE=AC-AE=6-t，由四边形PECD为矩形得到PD=EC=6-t，则BD=6-t，所以QD=BD-BQ=6-2t，在Rt△PCE中，利用勾股定理得PC²=t²+（6-t）²，在Rt△PDQ中，PQ²=（6-t）²+（6-2t）²，然后根据菱形的性质得PQ=PC，即t²+（6-t）²=（6-t）²+（6-2t）²，然后解方程得到满足条件的t的值．

解答：解：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图，AP=

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t，BQ=tcm，（0≤t＜6）
∵∠C=90°，AC=BC=6cm，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，
∴PE=AE=

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AP=tcm，BD=PD，
∴CE=AC-AE=（6-t）cm，
∵四边形PECD为矩形，
∴PD=EC=（6-t）cm，
∴BD=（6-t）cm，
∴QD=BD-BQ=（6-2t）cm，
在Rt△PCE中，PC²=PE²+CE²=t²+（6-t）²，
在Rt△PDQ中，PQ²=PD²+DQ²=（6-t）²+（6-2t）²，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PQ=PC，
∴t²+（6-t）²=（6-t）²+（6-2t）²，
∴t₁=2，t₂=6（舍去），
∴t的值为2．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质、菱形的性质和勾股定理．