Question

如图是运动会开幕式火炬点燃方式在平面直角坐标系中的示意图，位于点O正上方2米处的发射装置A可以向目标点火炬盆C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距出发点A水平距离为12米时达到离地面最大高度20米（图中B点）．火炬盆C距发射装置A的水平距离为20米，在A点处测得目标点火炬盆C的仰角为α，且tanα=．
（1）求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；
（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C？

Answer 1

解：（1）由题意可知抛物线的顶点B坐标为（12，20）可设火球运行抛物线解析式为：
y=a（x-12）²+20，
把点A（0，2）代入解析式得：2=a（0-12）²+20，
解得：a=-，
∴火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式为：
y=-（x-12）²+20=-x²+3x+2；

（2）设C（x₁，y₁），作CF⊥x轴，垂足为F，作AE⊥CF于E，连接AC，
则∠CAE=α，AE=20米，
∵tanα=．
∴，
∴CE=10，
∴CF=12，
∴点C坐标为：（20，12，），
代入y=-x²+3x+2得，左右相等，
所以点C在抛物线上，故能点燃目标．
分析：（1）本题是抛物线的问题，要充分运用抛物线在直角坐标系中的解析式解题，由已知得抛物线的顶点及经过一点，可设抛物线解析式的顶点式．
（2）能，确定C点坐标，根据已知条件，需要解直角三角形；作CF⊥x轴，垂足为F，把问题转化到直角三角形中解决．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．此题既是实际问题，又综合了几方面的知识，解这类问题，需要逐层分析，逐步解答，由易到难．