Question

已知在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC上一点，AD与BE交于点F，且F为AD的中点，ND∥AC交BE于N．
（1）求证：ND=AE；
（2）若CB=4BD，AE=2cm，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，S_△BND=6，求四边形DCEF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质得出∠FAE=∠FDN，然后求得根据ASA证得△AEF≌△DNF，即可证得ND=AE；
（2）由两直线平行证得三角形相似，根据相似三角形对应边成比例即可求得EC，即可求得；
（3）连接CF，设△AEF的面积为S，则S_△NDF=S，根据AE=2cm，EC=8cm，CB=4BD，得出△EFC的面积为4S，△DFC的面积为3（6+S），根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得S_△BCE=96，根据S_△BDN+S_△NDF+S_△DFC+S_△EFC=S_△BCE列出关于S的方程，解方程求得S，即可求得四边形DCEF的面积．

解答：解：（1）∵ND∥AC，
∴∠FAE=∠FDN，
在△AEF与△DNF中，

∠FAE=∠FDN DF=AF ∠DFN=∠AFE

，
∴△AEF≌△DNF（ASA），
∴ND=AE；
（2）∵ND∥AC，
∴△BDN∽△BCE，
∴

BD

BC

=

ND

EC

，
∵CB=4BD，AE=ND=2cm，
∴EC=4ND=8cm，
∴AC=EC+AE=8+2=10cm；
（3）∵△BDN∽△BCE，
∴

S△BDN

S△BCE

=（

BD

BC

）²=

1

16

，
∵S_△BND=6，
∴S_△BCE=96，
连接CF，设△AEF的面积为S，则S_△NDF=S，
∵AE=2cm，EC=8cm，CB=4BD，
∴△EFC的面积为4S，△DFC的面积为3（6+S），
∵S_△BDN+S_△NDF+S_△DFC+S_△EFC=S_△BCE
∴6+S+3（6+S）+4S=96，解得：S=9，
∴S_{四边形DCEF}=3（6+S）+4S=81．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握性质、定理是本题的关键．