如图.已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c与x轴相交于A.B两点.与y轴相交于点C(0.4).若已知A点的坐标为A．(1)求抛物线的解析式,(2)在抛物线上是否存在点P.使得四边形BPOH是菱形?若存在.求出符合条件的.P点坐标,若不存在.请说明理由,(3)在抛物线上是否存在点M.使△BCM的面积与△ABC的面积相等.若存在.求出点M的坐标.若不存在.说明理由,(4)在抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，4），若已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得四边形BPOH是菱形？若存在，求出符合条件的，P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在点M，使△BCM的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据C点坐标，可得c的值，代入A的坐标，可得b的值；
（2）根据菱形的对称轴垂直且互相平分，可得P的横坐标，代入抛物线解析式得到坐标；
（3）分两种情况分别讨论求得即可；
（4）分别从∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠CQB=90°三方面去分析，根据勾股定理，借助于方程求解即可求得答案．

解答解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c与y轴相交于点C（0，4），
∴c=4．
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4，
∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，A（-2，0）．
∴-$\frac{1}{4}$×4-2b+4=0，
解得b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）令y=0，则0=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
解得x₁=-2，x₂=8，
∴B（8，0），
∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，根据菱形的性质，点P必在直线x=4上，
又∵点P在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4上，
∴y=-$\frac{1}{4}$×16+$\frac{3}{2}$×4+4=6，
∴P（4，6），
故在抛物线上存在点P（4，6），使得四边形BPOH是菱形；
（3）当M在直线BC上方时，
∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4），
∴AB=10，OC=4，BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×10×4=20，
∵△BCM的面积与△ABC的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=20，
∴h=$\frac{40}{4\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
作CD⊥BC，使CD=4$\sqrt{5}$，过D点作DE⊥y轴于E，则△CDE∽△CBO，
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{DE}{OC}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{CE}{8}$=$\frac{DE}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$，
∴CE=4，DE=2，
∴D（2，8），
∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
过D点作直线l∥BC，设直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
代入D（2，8）得8=-$\frac{1}{2}$×2+b，
解得b=9，
∴直线l为y=-$\frac{1}{2}$x+9，
解-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{2}x$+9，
整理得x²-8x+20=0，
∵△=64-4×20＜0，
∴在直线BC的是方不存在这样的M点，
当M在直线BC下方时，
过A点作BC的平行线l，设直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
代入A（-2，0）得0=-$\frac{1}{2}$×2+b，
解得b=-1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴M（10，-6）．
综上，在抛物线上存在点M，使△BCM的面积与△ABC的面积相等，点M的坐标为（10，-6）；
（4）∵抛物线的对称轴为：直线x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=3，
假设存在点Q，使△BCQ为直角三角形
∴设Q（3，m），
∵B（8，0），C（0，4），B
∴BC²=80，BQ²=（8-3）²+m²=25+m²，CQ²=9+（4-m）²，
当∠QCB=90°时，则QC²+BC²=QB²，
即9+（4-m）²+80=25+m²，
解得m=10，
∴Q（3，10）；
当∠QBC=90时，则QB²+BC²=QC²，
即9+（4-m）²=80+25+m²，
解得m=-10，
∴Q（3，-10）；
当∠BQC=90°时，则QB²+QC²=BC²，
即9+（4-m）²+25+m²=80，
解得m=2±$\sqrt{19}$，
∴Q（3，2+$\sqrt{19}$）或Q（3，2-$\sqrt{19}$）．
∴符合条件的Q点坐标为Q₁（3，10），Q₂（3，-10），Q₃（3，2+$\sqrt{19}$），Q₄（3，2-$\sqrt{19}$）．

点评此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形形的性质，直角三角形的判定以及三角形的面积等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键．

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A．

一直增大

B．

保持不变

C．

先减小后增大

D．

先增大后减小

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