已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC的中线AD上的任意一点（不与

点A重合．将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ，使∠PAQ=∠BAC，连接BP，CQ
（1）求证：BP=CQ．
（2）设直线BP与直线CQ相交于点E，∠BAC=α，∠BEC=β，
①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
②若点P在直线AD上移动（不与点A重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

分析：（1）由∠PAQ=∠BAC，等式左右两边都减去∠PAC，得到∠BAP=∠CAQ，由旋转得到AP=AQ，再由AB=AC，利用SAS得出△ABP≌△ACQ，利用全等三角形的对应边相等可得证；
（2）①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），α=β，理由为：由（1）知△ABP≌△ACQ，得到对应角∠ABP=∠ACQ，再由一对对应角相等，利用三角形的内角和定理得到∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若点P在直线AD上移动（不与点A重合），如图所示，同理可得α与β之间相等或互补．

解答：（1）

证明：∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠PAC=∠BAC-∠PAC，即∠BAP=∠CAQ，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC

∠BAP=∠CAQ

AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP=CQ；
（2）解：①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），此时α=β，理由如下：
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABO和△ECO中，∠AOB=∠EOC，∠ABP=∠ACQ，
∴∠BAC=∠BEC，即α=β；
②若点P在直线AD上移动（不与点A重合），α与β之间的数量关系是相等或互补，
相等理由同①；互补理由为：如图所示，
由（1）知△ABP≌△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
又∠ACQ=∠ECO，
∴∠ABP=∠ECO，又∠EOC=∠AOB，
∴△ECO∽△AOB，
∴∠CEO=∠OAB，
∵∠PEQ+∠CEO=180°，
∴∠PEQ+∠BAC=180°，即α+β=180°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的数学思想，是一道综合性较强的探究型题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

34、已知：如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连接BD，CE，BD与CE交于O，连接AO，∠1=∠2，
求证：∠B=∠C．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•启东市一模）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB=6，求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）《根据2011江苏扬州市中考试题改编》

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：