Question

12．在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义，设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．解答下面的问题：
（1）若直线y=kx+b与直线y=2x-1平行，则k=2，b≠-1；
（2）如图，已知点A（1，3），B（3，2），C=（2，1）
①求经过A，B两点的直线的函数表达式；
②点P在y轴上，且S_△ABP=S_△ABC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由两个函数平行的意义直接得出答案即可；
（2）①利用待定系数法求得经过A，B两点的直线的函数表达式；
②设出点P坐标，求得△ABC的面积和△ABP的面积联立方程求得答案即可．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b与直线y=2x-1平行，
∴k=2，b≠-1；
（2）①设经过A，B两点的直线的函数表达式y=kx+b，
代入A（1，3），B（3，2）得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
所以经过A，B两点的直线的函数表达式y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$；
②如图，

点P在y轴上，设点P为（0，a），
一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$与y轴交于（0，$\frac{7}{2}$），
S_△ABP=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{7}{2}$）×3-$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{2}$-a）×1-$\frac{1}{2}$（2+a）×3=$\frac{7}{2}$-a；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{7}{2}$）×3-$\frac{1}{2}$（1+2）×1-$\frac{1}{2}$（1+3）×1-$\frac{1}{2}$（3+$\frac{7}{2}$）×1=$\frac{3}{2}$，
由S_△ABP=S_△ABC，得$\frac{7}{2}$-a=$\frac{3}{2}$，解得：a=2，
点P为（0，2）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．