Question

15．在边长为4的正方形ABCD中，P是射线CD上的点（与点C、D不重合），连接AP，将△ADP沿DC方向平移，使AD与BC重合，得到△BCQ．过点Q作QH⊥BD于H，连接AH、PH．
（1）如图1，若点P在线段CD上．
①求证：四边形APQB是?；
②求证：AH=PH且AH⊥PH；
（2）设DP=x（$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$），求△PHQ面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）①只要证明AB∥PQ，AB=PQ即可；
②连接HC，根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质得到△HDP≌△HQC，根据全等三角形的性质得到HP=HC，∠DHP=∠QHC，根据正方形是轴对称图形证明结论；
（2）分两种情形讨论，分别构建一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题；

解答 （1）①证明：如图1中，∵DP=CQ，
∴DC=PQ=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形．
②如图1，连接HC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，又QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
由平移的性质可知DP=CQ，
在△HDP和△HQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=HQ}\\{∠HDP=∠HQC}\\{DP=QC}\end{array}\right.$，
∴△HDP≌△HQC，
∴HP=HC，∠DHP=∠QHC，
根据正方形是轴对称图形得到HA=HC，∠AHD=∠CHD，
∴HA=HP，AH⊥PH；

（2）①如图1中，当P在线段CD上时，作HM⊥DQ于M．
∵HD=HQ，∠DHQ=90°，
∴DM=QM，
∴HM=$\frac{1}{2}$DQ=$\frac{1}{2}$（x+4），
∴S_△PHQ=$\frac{1}{2}$•PQ•HM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$（x+4）=x+4，
∵$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{1}{2}$，△PHQ的面积最小，最小值为$\frac{9}{2}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，△PHQ的面积最大，最大值为$\frac{11}{2}$．

②如图2中，当点P在CD的延长线上时，作HM⊥CD于M．

同理可知HM=$\frac{1}{2}$DQ=$\frac{1}{2}$（4-x），
∴S_△PHQ=$\frac{1}{2}$•PQ•HM=4-x，
∵$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∴当x=$\frac{1}{2}$，△PHQ的面积最小，最大值为$\frac{7}{2}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，△PHQ的面积最大，最小值为$\frac{5}{2}$．
综上所述，△PHQ的面积的最小值为$\frac{5}{2}$，最大值为$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识、一次函数的性质，难度适中，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决最值问题．