Question

如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长．

Answer 1

分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；
（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．

解答：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，AE²=10²=100，
又∵AD²+DE²=8²+6²=100，
∴AD²+DE²=AE²，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，EC²+FC²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
故BF=5cm；

（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB²+BF²=AF²，
∵AB=10cm，BF=5cm，
∴AF=

102+52

=5

5

cm．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．