Question

已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．

（1）如图1，当∠ABC=3∠ACB时，求证：AB=AE；
（2）如图2，当∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D₁是点D关于直线AC的对称点，试探究AG和MD₁之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：四点共圆,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,正方形的判定与性质,圆周角定理,轴对称的性质

专题：证明题

分析：（1）连接BF，如图1．设∠ACB=x，则∠ABC=3x，由FD垂直平分BC得FB=FC，然后将∠ABF、∠AFB、∠AFE、∠AEF用x的式子表示，再根据等角对等边就可解决问题．
（2）作EN⊥AC于N，取EC中点O，连接AD₁、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．易证四边形EGAN是正方形，
则有AG=AN，∠EAN=45°，∠GEN=90°．易证Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），则有∠GBE=∠NCE，∠GEB=∠NEC，
从而可得∠GEN=∠BEC=90°，进而可得∠ECB=∠ECB=45°，然后根据条件可算出∠ABE=∠ACE=15°，∠AMC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证到E，N，C，M四点共圆，然后根据圆周角定理可得∠EMN=∠ECN=15°，从而有∠MAD₁=∠EMN=15°，进而可证到△AMN≌△MAD₁，则有AN=MD₁，就可得到AG=MD₁．

解答：解：（1）证明：连接BF，如图1．
设∠ACB=x，则∠ABC=3x，
∵FD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=x，
∴∠ABF=∠AFB=2x，
∴AB=AF，∠PAC=4x．
∵AE平分∠PAC，
∴∠EAC=2x．
∵∠AFE=∠DFC=90°-x，
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2x-（90°-x）=90°-x，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AB=AE．

（2）AG=MD₁．
证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，
连接AD₁、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．
∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，
∴EG=EN，∠EGA=∠ENA=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°，
∴四边形EGAN是矩形．
∵EG=EN，∴矩形EGAN是正方形，
∴AG=AN，∠EAN=45°，∠GEN=90°．
∵ED垂直平分BC，∴EB=EC．
在Rt△BEG和Rt△CEN中，

EB=EC EG=EN

，
∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），
∴∠GBE=∠NCE，∠GEB=∠NEC，
∴∠GEN=∠BEC=90°
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°．
∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，
∴∠ABE=∠ACE=15°．
∵∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=30°．
∵点D与点D₁关于AC对称，
∴∠D₁AC=∠DAC=30°，
∴∠MAD₁=45°-30°=15°．
∵DA=DC，DM⊥AC，
∴DM垂直平分AC，
∴MA=MC，
∴∠CMH=∠AMH=90°-45°=45°，
∴∠AMC=90°，
∴∠ENC=∠AMC=90°．
∵点O为EC中点，
∴ON=OM=OE=OC=

1

2

EC，
∴E、N、C、M四点共圆，
∴∠EMN=∠ECN=15°，
∴∠MAD₁=∠EMN=15°，
在△AMN和△MAD₁中，

∠MAD1=∠AMN AM=MA ∠AMD1=∠MAN=45°

，
∴△AMN≌△MAD₁，
∴AN=MD₁，
∴AG=MD₁．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，综合性非常强，难度也比较大，而证明△AMN≌△MAD₁则是解决第（2）小题的关键．