Question

如图，已知CD为⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，B为⊙O上一点，且∠ABC=∠D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanD=

1

2

，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°，而∠D=∠OBD，∠ABC=∠D，则∠ABC=∠OBD，所以∠OBA=90°，于是可根据切线的判定定理得到结论；
（2）设BC=x，利用正切的定义得到BD=2x，根据勾股定理得到CD=

5

x，则OB=OC=

5

2

x，易证得△ABC∽△ADB，利用相似比可得AB=2AC，在Rt△OAB中，根据勾股定理得到AC=

5

3

x，然后根据正弦的定义求解．

解答：（1）证明：连结OB，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∵∠ABC=∠D，
∴∠ABC=∠OBD，
∴∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；

（2）解：设BC=x，
在Rt△BCD中，tanD=

BC

BD

=

1

2

，
∴BD=2x，
∴CD=

BD2+BC2

=

5

x，
∴OB=OC=

5

2

x，
∵∠ABC=∠D，∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴

AC

AB

=

BC

BD

=

1

2

，
∴AB=2AC，
在Rt△OAB中，∵OB²+AB²=AO²，
∴（

5

2

x）²+（2AC）²=（

5

2

x+AC）²，
∴AC=

5

3

x，
∴OA=

5

2

x+

5

3

x=

5 5

6

x，
∴sinA=

OB

OA

=

5 x 2

5 5 x 6

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数．