Question

如图，点F为正方形内一点，在正方形外有一点E，满足∠ABF=∠CBE，BF=BE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）连接EF，试判断△BEF的形状，并证明你的结论．
（3）当CF：BF=1：2，∠BFC=135°时，求cos∠FCE的值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质推出AB=BC，根据SAS证出即可；
（2）根据全等三角形性质推出BE=BF，根据正方形性质推出∠ABF+∠FBC=90°，证∠FBC+∠CBE=90°即可；
（3）根据等腰直角三角形性质推出∠BFE=45°，推出∠CFE=90°，设CF=a，BF=2a，求出CE=3a，根据锐角三角函数求出即可．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，
∵∠ABF=∠CBE，BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△BEF的形状是等腰直角三角形，
证明：∵△ABF≌△CBE，
∴BF=BE，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
即∠ABF+∠FBC=90°，
∵∠ABF=∠CBE，
∴∠FBC+∠CBE=90°，
即∠FBE=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形．

（3）解：设CF=a，BF=2a，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∵∠BFC=135°，
∴∠CFE=90°，
由勾股定理得：CE=

CF2+EF2

=3a，
∴cos∠FCE=

CF

CE

=

a

3a

=

1

3

．
答：cos∠FCE的值是

1

3

．

点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．