Question

14．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD
（1）求证：∠C=∠D；
（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．

Answer 1

分析 （1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′，由已知求得∠AEC=60°，进而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根据圆是轴对称图形即可证得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根据等腰三角形的性质求得∠D′=∠C，从而证得结论；
（2）证得∠COD′＞60°，从而证得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，从而得出r＜CE+ED＜2r．

解答 证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′
∵∠CED=∠OED=60°，
∴∠AEC=60°，
∴∠OED′=60°，
∴∠DEO=∠D′EO=60°，
由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′，
∵OC=OD′，
∴∠D′=∠C，
∴∠C=∠D；

（2）∵∠D′EO=60°，
∴∠C＜60°，
∴∠C=∠D′＜60°，
∴∠COD′＞60°，
∴CD′＞OC=OD′，
∵CD′＜OC+OD′，
∵CE+ED=CE+ED′=CD′，
∴r＜CE+ED＜2r．

点评 本题考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形三边之间的关系，圆是轴对称图形是本题的关键．