Question

4．如图是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①abc＞0；②a-b+c＞0；③b²=4a（c-m）；④一元二次方程ax²+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据开口方向和对称轴位置确定；
②根据x=-1时所对应的y值确定；
③利用顶点坐标的纵坐标公式得出；
④根据一元二次方程的根的情况与抛物线与x轴交点的关系来判断．

解答 解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴abc＜0，
故①不正确；
②根据对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点应该在-1和-2之间，
所以当x=-1时，y＜0，
则a-b+c＜0，
故②不正确；
③∵顶点坐标为（1，m），
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=m，
4ac-b²=4am，
b²=4a（c-m），
故③正确；
④∵抛物线与直线y=m有一个公共点，
∴抛物线与直线y=m+1有两个公共点，
∴一元二次方程ax²+bx+c=m+1有两个不相等的实数根；
故④正确；
所以正确的个数有两个，
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），①二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③顶点坐标公式（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）．