Question

16．已知：△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点．
（1）如图，E，F等边是AB，AC上的点，且AE=CF，试判断DE，DF的关系（直接写结论，不需证明）
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有AE=CF，其他条件不变，那（1）中的结论是否仍成立？画出图形，若不成立说明理由，若成立，请证明．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=DC，进而证明△AED≌△CFD，利用全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF进而得出△DEF为等腰直角三角形；
（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，首先利用已知得出AD=BD=DC，进而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．

解答 解：（1）如图①，结论：DE=DF．DE⊥DF，
理由：连接AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠DAC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．

（2）若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，

理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴∠ADE-∠ADF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，体会这类题目形变结论不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．