Question

【题目】阅读下列材料：

将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．也称这个数为“要塞数”．例如：将数1078分解为8和107，107﹣8×2＝91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，就称1078为“要塞数”．

完成下列问题：

（1）若一个三位自然数是“要塞数”，且个位数字和百位数字都是7，则这个三位自然数位　 　；

（2）若一个四位自然数M是“要塞数”，设M的个位数字为x，十位数字为y，且个位数字与百位数字的和为13，十位数字与千位数字的和也为13，记F（M）＝|x﹣y|，求F（M）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）727或797；（2）3.

【解析】

（1）设三位数的十位数是a（0≤a≤9），由这个三位数是“要塞数”，可得70+a-2×7=54+a能被7整除，即可求a；

（2）由已知这个四位数的千位数字是13-y，百位数字是13-x，且4≤x≤9，4≤y≤9，由已知可得100（13-y）+10（13-x）+y-2x=1430-99y-12x能被7整除，分别代入数验证可得x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6，即可求解．

解：（1）设三位数的十位数是a（0≤a≤9），

∵个位数字和百位数字都是7，

∴这个三位数是，

∵这个三位数是“要塞数”，

∴70+a﹣2×7＝54+a能被7整除，

∴a＝2或a＝9，

∴这个三位数是727或797；

（2）由已知这个四位数的千位数字是13﹣y，百位数字是13﹣x，且4≤x≤9，4≤y≤9，

∵四位数是“要塞数”，

∴100（13﹣y）+10（13﹣x）+y﹣2x＝1430﹣99y﹣12x能被7整除，

∴x＝5，y＝5；x＝6，y＝7；x＝7，y＝9；x＝9，y＝6；

∴F（M）＝|x﹣y|的最大值是3．