Question

5．已知直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为$\sqrt{3}$
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若双曲线y=$\frac{k}{x}$上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y=$\frac{k}{x}$上有一点N，若以O，M，P，N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据割补法，可得面积的和差，可得答案；
（3）根据菱形的邻边相等，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为$\sqrt{3}$，
∴点A的纵坐标为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴点A（$\sqrt{3}$，1），
∴1=$\frac{k}{\sqrt{3}}$，
解得：k=$\sqrt{3}$．
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）如图1：

作AD⊥x轴于D点，交OC于E点，
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$上点C的纵坐标为3，
∴3=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点C（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，3），
OC的解析式为y=3$\sqrt{3}$x，
当x=$\sqrt{3}$时，y=9，即E（$\sqrt{3}$，9）．
S_△OAC=S_△ODE-S_△OAD-S_△ACE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×9-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）×（9-1）
=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（3）如图2：

四边形OMNP是菱形，∠MOP=60°，
设P（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），N（a，$\frac{\sqrt{3}}{a}$）．
由OP²=NP²，得a²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²=（$\frac{\sqrt{3}}{a}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²，
解得a₁=1，a₂=-1，
即P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P′（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用图形割补法求三角形的面积是解题关键，利用菱的邻边相等得出关于a的方程是解题关键．