Question

如图所示，设P为等边△ABC内的一点，且PB=2

2

，PA=1，PC=3，则∠APB=

150°

．

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质得到BA=BC，∠ABC=60°，于是可把△BPC绕B点逆时针旋转60°得到△BDA，根据旋转的性质得到BD=BP=2

2

，∠DBP=60°，AD=PC=3，可判断△BPD为等边三角形，
则PD=PB=2

2

，∠DPB=60°；在△APD中，由于PD=2

2

，AP=1，AD=3，利用勾股定理的逆定理可得到△APD是以AD为斜边的直角三角形，则∠APD=90°，再利用∠APB=∠APD+∠DPB计算即可．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△BPC绕B点逆时针旋转60°可得到△BDA，如图，
∴BD=BP=2

2

，∠DBP=60°，AD=PC=3，
∴△BPD为等边三角形，
∴PD=PB=2

2

，∠DPB=60°，
在△APD中，PD=2

2

，AP=1，AD=3，
∵（2

2

）²+1²=3²，
∴PD²+PA²=AD²，
∴△APD是以AD为斜边的直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+60°=150°．
故答案为150°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．