Question

如图直线l：y=kx+2-4k（k为实数）．
（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点．求△AOB面积的最小值．

Answer 1

（1）证明：令k=1．得y=x-2；令k=2，得y=2x-6，
联立解得x=4，y=2．
故定点为M（4.2），
将点M（4.2）的坐标代入直线l的方程，得2=2，
这是一个与k无关的恒等式．故不论k为任何实数，直线l都过定点M（4.2）；

（2）解：取x=0，得OB=2-4k（k＜0），
取y=0．得OA=（k＜0），
于是S_△AOB=（k＜0），
将上式转化为二次方程得，8k²+（s-8）k+2=0．①
因为k为实数，
所以△=（S-8）²-64≥O．即S²-16S≥O，故S≥16．
将S=16代入式①．得k=-，
所以当k=-时，S_△AOB最小=16．
分析：（1）分别令k=1，k=2得出关于x、y的二元一次方程，进而可得出M的坐标，将M点的坐标代入直线l的解析式即可得到2=2，进而可得出结论；
（2）分别取x=0，y=0即可得到OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可得到关于k的二元一次方程，再根据此方程的顶点坐标即可得出结论．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到根的判别式及三角形的面积公式，熟知以上知识是解答此题的关键．