【题目】如图,在边长为的正方形中,点,,,分别按,,,的方向同时出
发,以的速度匀速运动.在运动过程中,设四边形的面积为,运动时间为.
试证明四边形是正方形;
写出关于的函数关系式,并求运动几秒钟时,面积最小,最小值是多少?
是否存在某一时刻,使四边形的面积与正方形的面积比是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】证明见解析;秒时,有最小值,最小值是;或时,四边形的面积与正方形的面积的比是.
【解析】
根据四个点的速度相同可知,根据正方形的性质可证明可证明四边形是菱形,根据,,可知,即可证明四边形为正方形. (2)时间为t,速度为1,则AE=t,AH=4-t,即可知S关于t的关系式.根据关系式即可求出最小值与最大值.(3)根据边长可求出正方形ABCD的面积,再根据面积比,结合(2)所求关系式即可求出t的值.
∵点,,,在四条边上的运动速度相同,
∴,
在正方形中,,
且,
∴,
∴,
∴(全等三角形的对应边相等),
(全等三角形的对应角相等),
∴四边形是菱形.(四条边相等的四边形是菱形),
又∵,
∴,
∴,
∴四边形为正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形).
∵运动时间为,运动速度为,
∴,,
由知四边形为正方形,
∴
即,
当秒时,有最小值,最小值是;
存在某一时刻,使四边形的面积与正方形的面积比是.
∵,
∴,∴,;
当或时,
四边形的面积与正方形的面积的比是.
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【题目】阅读下面的文字后,解答问题:
有这样一道题目:“如图,E、D是△ABC中BC边上的两点,AD=AE, .求证△ABE≌△ACD.请根据你的理解,在题目中的空格内,把原题补充完整(添加一个适当的条件),并写出证明过程.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC,若CE=5,则BC等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图,分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线,剪开,拼成如图所示的四边形,若中间空白部分四边形恰好是正方形,且四边形的面积为,则正方形的面积是( )
A.B.C.D.
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【题目】阅读解答:
分解下列因式:,,
(1)观察上述三个多项式的系数,有,,,
于是某同学猜测:若多项式是完全平方式,那么实系数,,之间一定存在某种关系,请你用数学式子表示系数,,之间的关系_______.
(2)解决问题:在实数范围内,若关于 x 的多项式是完全平方式,且、都是正整数,,求、的值;
(3)在实数范围内,若关于的多项式和都是完全平方式,利用(1)中的规律,求的值.
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【题目】如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD,∠ABE=∠CDF,AF=CE.
(1)从图中任找两组全等三角形;
(2)从(1)中任选一组进行证明.
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【题目】如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,两条对角线AC、OB的长分别是6和4,反比例函数的图象经过点C.
(1)写出点A的坐标,并求k的值;
(2)将菱形OABC沿y轴向下平移多少个单位长度后点A会落在该反比例函数的图象上?
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【题目】为提高节水意识,小申随机统计了自己家7天的用水量,并分析了第3天的用水情况,将得到的数据进行整理后,绘制成如图所示的统计图.(单位:升)
(1)求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数;
(2)求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比;
(3)请你根据统计图中的信息,给小申家提出一条全理的节约用水建议,并估算采用你的建议后小申家一个月(按30天计算)的节约用水量.
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