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    精英家教网如图平面直角坐标系中，抛物线y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
    （1）求证：△ABC为直角三角形；
    （2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点F．求当m为何值时，EF=DF？
    （3）连接CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BCE的面积最大”，小红同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大．”她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BCE的最大面积．
    分析：（1）先根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，那么可用两种方法进行求解．
    ①可分别求出AC、BC、AB的长，然后用勾股定理求证．
    ②可分别在直角三角形AOC和BOC中，用三角函数得出相关的锐角相等，然后通过证小直角三角形与△BAC相似来得出结论．
    （2）本题由两种求法：
    ①可根据△BDF和△BOC相似，用m表示出DF的长，即可得出DE的长，也就得出了E点的坐标，然后将E点坐标代入抛物线的解析式中即可得出m的值．
    ②可先求出直线BC的解析式．由于DE=2DF，因此当x=m时，抛物线的值是直线BC的值的2倍，由此可得出关于m的方程，即可求出m的值．
    （3）本题要先求出△BEC的面积与E点坐标的函数关系式，根据函数的性质来求解．可设出E点的坐标（设横坐标，用抛物线的解析式表示纵坐标）．然后根据△BCE的面积=梯形CODE的面积+△BDE的面积-△BOC的面积；来得出关于△BCE的面积与E点横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质求出S的最大值和对应的E点的坐标．
    解答：（1）证明：对于y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2
    当y=0时，-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2=0，解得x1=-1，x2=4；
    当x=0时，y=2
    ∴A、B、C三点的坐标分别为
    A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
    ∴OA=1，OB=4，OC=2，
    ∴AB=OA+OB=5，
    ∴AB2=25
    在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=12+22=5
    在Rt△COB中，BC2=OC2+OB2=22+42=20
    ∴AC2+BC2=AB2，
    ∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．
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    （2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m，
    ∴OD=m，DE⊥OB．
    ∵OC⊥AB，
    ∴OC∥DE，
    ∴△BDF∽△BOC，
    ∴
    DF
    OC
    =
    BD
    BO

    ∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，
    ∴DF=
    BD•OC
    BO
    =
    2(4-m)
    4
    =2-
    1
    2
    m    ．
    当EF=DF时，DE=2DF=4-m，
    ∴E点的坐标为（m，4-m）
    ∵E点在抛物线y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2上，
    ∴4-m=-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m+2
    解得m1=1，m2=4．
    ∵0＜m＜4，
    ∴m=4舍去，
    ∴当m=1时，EF=DF；

    （3）解：小红同学的观点是错误的．
    ∵OD=m，DE⊥OB，E点在抛物线y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2上
    ∴E点的坐标可表示为（m，-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m+2）
    ∴DE=-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m+2．
    ∵DF=2-
    1
    2
    m，
    ∴EF=DE-DF=-
    1
    2
    m2+2m
    ∵S△BCE=S△CEF+S△BEF=
    1
    2
    EF•OD+
    1
    2
    EF•BD=
    1
    2
    EF•（OD+BD）
    =
    1
    2
    EF•OB=
    1
    2
    EF•4=2EF
    ∴S△BCE=-m2+4m=-（m2-4m+4-4）=-（m-2）2+4
    ∴当m=2时，S△BCE有最大值，△BCE的最大面积为4；
    ∵当m=2时，-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m+2=3，
    ∴E点的坐标为（2，3）
    而抛物线y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2的顶点坐标为（
    3
    2
    ，
    25
    8
    ），
    ∴小红同学的观点是错误的．
    点评：本题主要考查二次函数的应用、直角三角形的判定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
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    1
    2
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    y=-
    1
    2
    x+6
    y=-
    1
    2
    x+6
    ．

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