Question

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=

2

3

x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，以点A、C、E、F为顶点的四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；
（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以有①CE∥AF．分别求出直线CE、AF的解析式，进而求出点F的坐标；②AE∥CF，由A、E两点同在x轴，则CF平行于x轴，容易得出点F的坐标；
（3）△BDP和△CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=

2

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x²+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-2），
∴

2 3 -b+c=0 c=-2

，
解得

b=- 4 3 c=-2

．
故抛物线的表达式为：y=

2

3

x²-

4

3

x-2=

2

3

（x-1）²-

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3

，对称轴为直线x=1；

（2）①CE∥AF，
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
将E（1，0），C（0，-2）坐标代入得：

k+b=0 b=-2

，解得

k=2 b=-2

，
∴直线CE的解析式为：y=2x-2．
∵AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，
∴CE∥AF．
∴设直线AF的解析式为：y=2x+n．
∵点A（-1，0）在直线AF上，
∴-2+n=0，∴n=2．
∴设直线AF的解析式为：y=2x+2．
当x=1时，y=4，
∴点F的坐标为（1，4）；
②AE∥CF，
由图知，A、E两点同在x轴，则CF平行于x轴，
∴点F的坐标为（1，-2），
综上所述，点F的坐标为（1，4）或（1，-2）．

（3）点B（3，0），点D（1，-

8

3

），
若△BDP和△CDP的面积相等，
则DP∥BC，
则直线BC的解析式为y=

2

3

x-2，
∴直线DP的解析式为y=

2

3

x-

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3

，
当y=0时，x=5，
∴t=5．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．