Question

15．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）填空：①当CE=2时，四边形AOCE为正方形；
②当CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，△CDE为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）连接AC、OE，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得到EA=EC，则可证明△OCE≌△OAE，得到∠OCE=∠OAE=90°，于是可根据切线的判定定理得到CE是⊙O的切线；
（2）①由C为边BD的中点，而E为AD的中点，则CE为△BAD的中位线，得到CE∥AB，CE=$\frac{1}{2}$AB=OA，则可先判定四边形OAEC为平行四边形，加上∠OAE=90°，OA=OC，于是可判断四边形OCEA是正方形，易得CE=OA=2；
②连接AC，根据等边三角形的性质得∠D=60°，∠ABD=30°，在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=$\frac{1}{2}$AB=2，然后在Rt△ACD中，利用∠D的正切函数可计算出CD，即可得出CE的长．

解答 （1）证明：连接AC、OE，如图（1），
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACD为直角三角形，
又∵E为AD的中点，
∴EA=EC，
在△OCE和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{OE=OE}\\{EC=EA}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OAE（SSS），
∴∠OCE=∠OAE=90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：
当C为边BD的中点，而E为AD的中点，
∴CE为△BAD的中位线，
∴CE∥AB，CE=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∴四边形OAEC为平行四边形，
∵∠OAE=90°，
∴平行四边形OCEA是矩形，
又∵OA=OC，
∴矩形OCEA是正方形，
∴CE=OA=2，
故答案为：2；

②连接AC，如图（2），
∵△CDE为等边三角形，
∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，
在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△ACD中，∵tan∠D=$\frac{AC}{CD}$，
∴CD=$\frac{2}{tan60°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、平行四边形的判定、正方形的判定、等边三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．