Question

【题目】(本题满分10分)定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5,求BN的长；

（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，MCN=45，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点.

Answer 1

【答案】(1)当MN最长时，BN=4;

当BN最长时，BN=;…………4分

如图,过点A作AD⊥AB,且AD=BN

证 △ADC≌△BNC,∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,

再证：∠MCD=∠BCM,

证 △MDC≌△MNC,∴MD=MN

在Rt△MDA中，

∴

∴点M，N是线段AB的勾股分割点.…………10分

【解析】试题分析：（1）分两种切线利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题.

试题解析：（1）当MN最长时，BN==4；

当BN最长时，BN==；

（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN，

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，

∴∠MCD=∠BCM，

∴△MDC≌△MNC，

∴MD=MN，

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴点M，N是线段AB的勾股分割点。