Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB干点E，BE=2OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB(异于A，B)上一个动点，连接AC、PE．

（1）若AO=3，求AC的长度；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE=k·PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)见解析；(3)存在，

【解析】

（1）AO=3，即半径为3，所以AB=6，可算出AE=4，AB是直径，且AE⊥EC，易证明△AEC∽△CEB，则有，即可算出AC长．

（2）连接OC，由△AEC∽△CEB，可得 =，再证明=，又∠OEC=∠CED可证明△OEC∽△CED，所以∠ECD=∠EOC，所以∠OCE+∠ECD=∠OCE+∠COE=,即可证明CD为切线．

（3）连接OP，由，且∠POE=∠DOP，所以△OEP∽△OPD，即可证明．

解：（1）∵AO=3,

∴OB=3，AB=BD=6，AE=4

∵BE=2OE

∴OE=1,BE=2

∵AB是直径

∴∠ACB=

∵∠AEC=

∴∠CAB=∠BCE

∴△AEC∽△CEB

∴=24

∴AC=2

（2）如下图，连接OC，

由（1）中△AEC∽△CEB，

可得 =，EC=OE

ED=EB+BD=2OE+6OE=8OE

∴=，

∵∠OEC=∠CED

∴△OEC∽△CED

∴∠ECD=∠EOC，

∴∠OCE+∠ECD=∠OCE+∠COE=

∴OC⊥CD，

即CD为⊙O的切线．
（3）存在， ，如下图，连接OP

∴OP=OB=3OE

∵OD=9OE

∴

又∵∠EOP=∠POD

∴△OEP∽△OPD

∴

∴k=．