Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且满足现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；

（2）在y轴上是否存在一点M，连接MA，MB，使S△MAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）点P是射线BD上的一个动点（不与B，D重合），连接PC，PA，求∠CPA与∠DCP、∠BAP之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）C(0，2)，D(4，2)，S四边形ABDC=8；（2）M(0，4)或(0，-4)；（3）∠CPA= ∠BAP+∠DCP或∠CPA= ∠BAP-∠DCP．

【解析】

（1）由题意根据非负数的性质求出A、B坐标，进而分析得出C、D坐标，继而即可求出四边形ABDC的面积；

（2）由题意可知以AB为底边，设点M到AB的距离为h即三角形MAB的高，求得h的值即可得出点M的坐标；

（3）根据题意分当点P在线段BD上时以及当点P在BD延长线上时，利用平行线的性质进行分析即可.

解: （1）由得a=-1，b=3，则A(-1，0)，B(3，0)，

∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，如图，

∴C(0，2)，D(4，2)，

∴S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8.

（2）存在．设点M到AB的距离为h，S△MAB=×AB×h=2h，

由S△MAB=S四边形ABDC，得2h=8，解得h=4，

可知这样的M点在y轴上有两个，

∴M(0，4)或(0，-4).

（3） ①当点P在线段BD上时：∠CPA=∠DCP+∠BAP，理由如下：

过P点作PE∥AB交OC与E点，

∵AB∥CD， PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE， ∠BAP=∠APE，

∵∠CPA=∠CPE+∠APE，

∴∠CPA=∠DCP+∠BAP；

②当点P在BD延长线上时：∠CPA= ∠BAP-∠DCP，理由如下：

过P点作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE，∠BAP=∠APE，

∵∠CPA= ∠APE-∠CPE。

∴∠CPA= ∠BAP-∠DCP.