Question

4．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧$\widehat{AB}$上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图（1），根据垂径定理可得BD=$\frac{1}{2}$BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；
（2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE=$\frac{1}{2}$AB，DE保持不变．

解答 解：（1）如图（1），

∵OD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∵∠BDO=90°，OB=2，BD=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
即线段OD的长为$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），

∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴DE保持不变．

点评 本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．