Question

13．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为22．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

Answer 1

分析 （1）由题意得：y=$\frac{1}{2}$•x•（22-x）=-$\frac{1}{2}$x²+11x（0＜x＜22），当y=48，解方程即可解决问题．
（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题．
（3）如图，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=11-x，因为△ABC的周长=BC+AB+AC=11+$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$，欲求△△ABC的周长最小值，即就是求$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），到E（0，11），F（11，11）的距离之和的最小值，作点E关于x轴的对称点E′，连接FE′交x则于M，此时ME+MF最小，最小值=$\sqrt{1{1}^{2}+2{2}^{2}}$=11$\sqrt{5}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意得：y=$\frac{1}{2}$•x•（22-x）=-$\frac{1}{2}$x²+11x（0＜x＜22），
当y=48时，-$\frac{1}{2}$x²+11x=48，解得x=6或16，
当△ABC面积为48时BC的长为6 或16；
（2）由（1）得：，y=-$\frac{1}{2}$x²+11x=-$\frac{1}{2}$（x-11）²+$\frac{121}{2}$，
∴当x=11即BC=11时，△ABC的面积最大，最大面积是$\frac{121}{2}$；
（3）△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：
如图，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=11-x，

∵△ABC的周长=BC+AB+AC=11+$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$，
欲求△△ABC的周长最小值，即就是求$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$的最小值，
相当于在x轴上找一点M（x，0），到E（0，11），F（11，11）的距离之和的最小值，

作点E关于x轴的对称点E′，连接FE′交x则于M，此时ME+MF最小，最小值=$\sqrt{1{1}^{2}+2{2}^{2}}$=11$\sqrt{5}$
当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为11$\sqrt{5}$+11．

点评 本题考查二次函数的应用、三角形的面积、周长、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，本题的突破点是把求$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$的最小值问题，转化为在x轴上找一点M（x，0），到E（0，11），F（11，11）的距离之和的最小值，属于中考常考题型．