如图.矩形ABCD中.AB=3.BC=4.将矩形ABCD沿对角线AC平移.平移后的矩形为EFGH(A.E.C.G始终在同一条直线上).当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N.GH与BC的延长线交于点M.EH与DC交于点P.FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积.S′表示矩形NFQC的面积．(1)S与S′相等吗?请说明理由．(2)设AE=x.写出S和x之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S′表示矩形NFQC的面积．
（1）S与S′相等吗？请说明理由．
（2）设AE=x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）连结BE，是否存在x，△BEC是等腰三角形？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
（图2、图3供同学们分析题目使用，请用钢笔或圆珠笔完成草图）

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）相等，由S=S_△EGH-S_△ECP-S_△CGM=S′=S_△EGF-S_△ECN-S_△CGQ求解即可．
（2）设AE=x，可求出EC的长，利用三角函数求出PC与CM的值，根据矩形的面积公式即可得出S，x的函数关系式．然后根据函数的性质可得出S的最大值及对应的x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论：①当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．②当BE=EC=

时，即x=

时，△BEC是等腰三角形．

解答：解：（1）相等．
理由为：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，
∴S_△EGH=S_△EGF，S_△ECN=S_△ECP，S_△CGQ=S_△CGM
∴S_△EGH-S_△ECP-S_△CGM=S_△EGF-S_△ECN-S_△CGQ，即S=S′．
（2）如图1，

∵AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

32+42

=5，
设AE=x，则EC=5-x，
∵sin∠PEC=sin∠DAC=

，cos∠PEC=cos∠DAC=

，
∴PC=

（5-x），MC=4-EP=4-

（5-x）=

x，
所以S=PC•MC=

x（5-x），
即S=-

x²+

x，（0≤x≤5）
配方得：S=-

（x-

）²+3，
所以当x=

时，S有最大值3．
（3）①如图2，当EC=BC=4时，即x=1时，△BEC是等腰三角形．

②如图3，当BE=EC=

时，即x=

时，△BEC是等腰三角形．

点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、等腰三角形的判定等知识点．解题的关键在讨论时不要漏解．

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