Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点D在y轴上，点C的坐标为（0，-4），直线AD平分∠BAC，线段OA、OB的长满足一元二次方程x²-5x+6=0的两根（OA＞OB）．
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线AD的解析式；
（3）坐标系上是否存在点P，使以P、D、A、C为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出已知方程的解得到x的值，确定出OA与OB的长即可；
（2）作出∠BAC的平分线AD，与y轴交于点D，过D作DE⊥AC，如图1所示，利用角平分线定理得到OD=ED，利用HL得到直角三角形AOD与直角三角形AED全等，得到OA=AE，由AC-AE求出EC的长，设D（0，d），在直角三角形EDC中，利用勾股定理求出d的值，确定出D坐标，利用待定系数法求出直线AD解析式即可；
（3）如图2所示，分三种情况：若四边形ACDP₁为平行四边形；若四边形AP₂CD为平行四边形；若四边形ACP₃D为平行四边形，利用平行四边形的性质分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）方程x²-5x+6=0，分解因式得：（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或x=3，
∴OA=3，OB=2，即A（-3，0），B（2，0）；
（2）作出∠BAC的平分线AD，与y轴交于点D，过D作DE⊥AC，如图1所示，

∵AD平分∠BAC，DO⊥AB，DE⊥AC，
∴DO=DE，
在Rt△AOD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=ED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOD≌Rt△AED（HL），
∴OA=AE=3，
∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EC=AC-AE=5-3=2，
设D（0，d），即OD=DE=-d，DC=4+d，
在Rt△DEC中，根据勾股定理得：（4+d）²=d²+2²，
解得：d=-$\frac{3}{2}$，即D（0，-$\frac{3}{2}$），
设直线AD解析式为y=kx+b，
把A与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，
则直线AD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；
（3）如图2所示，

分三种情况考虑：
若四边形ACDP₁为平行四边形，则有AP₁=CD=$\frac{5}{2}$，此时P₁（-3，$\frac{5}{2}$）；
若四边形AP₂CD为平行四边形，则有AP₂=CD=$\frac{5}{2}$，此时P₂（-3，-$\frac{5}{2}$）；
若四边形ACP₃D为平行四边形，
由直线P₁D解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{3}{2}$与直线P₂C解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，即P₃（3，-$\frac{11}{2}$），
综上，P的坐标为（-3，$\frac{5}{2}$）；（-3，-$\frac{5}{2}$）；（3，-$\frac{11}{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，平行四边形的性质，“HL”判定直角三角形全等，以及角平分线定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．