【题目】如图,抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(﹣3,0),点B(1,0),交y轴于点E.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线过点F且与y轴平行.直线y=kx+3过点C,交y轴于D点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3; (2)线段HG的长度有最大值; (3)当N的坐标为(﹣5,12),(11,140),(﹣1,﹣4)时,以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形.
【解析】试题分析:(1)把点的坐标代入函数表达式,即可求出的值;
(2)根据C点的坐标求出直线CD的解析式,然后结合图形设出K点的坐标表达出H点和G点的坐标,列出HG关于t的表达式,根据二次函数的性质求出最大值;
(3)需要讨论解决,①若线段AC是以点A、C,M、N为顶点的平行四边形的边,当点N在点M的左侧时,MN=3-n;当点N在点M的右侧时,MN=n-3,然后根据已知条件在求n的坐标就容易了
②若线段AC是以点A、C,M、N为顶点的平行四边形的对角线时,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称,取点F关于点B的对称点P,则P点坐标为过P点作轴,交抛物线于点N,结合已知条件再求n的坐标就容易了.
试题解析:(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x1)(x+3).
∵抛物线交y轴于点E(0,3),将该点坐标代入上式,得a=1,
∴所求函数表达式为y=(x1)(x+3),
即
(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点A坐标(3,0),点B坐标(1,0),
∴点C坐标(5,0),
∴将点C坐标代入得
∴直线CD的函数表达式为
设K点的坐标为(t,0),则H点的坐标为G点的坐标为
∵点K为线段AB上一动点,
∴当时,线段HG的长度有最大值
(3)∵点F是线段BC的中点,点B(1,0),点C(5,0),
∴点F的坐标为(3,0),
∵直线l过点F且与y轴平行,
∴直线l的函数表达式为x=3,
∵点M在直线l上,点N在抛物线上,
∴设点M的坐标为(3,m),点N的坐标为
∵点A(3,0),点C(5,0),
∴AC=8,
分情况讨论:
①若线段AC是以点A.C,M、N为顶点的平行四边形的边,则需MNAC,且MN=AC=8.
当点N在点M的左侧时,MN=3n,
∴3n=8,解得n=5,
∴N点的坐标为(5,12),
当点N在点M的右侧时,MN=n3,
∴n3=8,
解得n=11,
∴N点的坐标为(11,140),
②若线段AC是以点A.C,M、N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称,取点F关于点B的对称点P,则P点坐标为(1,0)
过P点作NP⊥x轴,交抛物线于点N,
将x=1代入,得y=4,
过点N作直线NM交直线l于点M,
在△BPN和△BFM中,
∠NBP=∠MBF,
BF=BP,
∴△BPN≌△BFM,
∴NB=MB,
∴四边形ANCM为平行四边形,
∴坐标(1,4)的点N符合条件,
∴当N的坐标为(5,12),(11,140),(1,4)时,以点A. C.M、N为顶点的四边形为平行四边形.
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【题目】如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四边形ABCD中, , ;
求证:四边形ABCD是平行四边形.
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【题目】等边三角形ABC中,D、E分别是AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于点P,CF⊥AE.
(1)求∠CPE的度数;
(2)求证:PF=PC.
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【题目】如图1.直线AD∥EF,点B,C分别在EF和AD上,∠A=∠ABC,BD平分∠CBF.
(1)求证:AB⊥BD;
(2)如图2,BG⊥AD于点G,求证:∠ACB=2∠ABG;
(3)在(2)的条件下,如图3,CH平分∠ACB交BG于点H,设∠ABG=α,请直接写出∠BHC的度数.(用含α的式子表示)
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(- 3,4),点B的坐标为(6,n).
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OB,求△AOB 的面积;
(3)在x轴上是否存在点P,使△APC是直角三角形. 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了弘扬二中精神,磨炼学生意志, 4 月14 日下,万州二中初2019级全体师生在学校领导和各班班主任的带领下进行了主题为“放歌平湖之家多美”的环湖拉练活动,师生们从二中初中部出发沿滨江路步行到达三峡移民纪念馆,全体师生在此进行了一个小时左右的宣传与实践活动,然后又乘车返回;设师生所用的时间为x(小时),师生们离开学校的距离为y(千米)则下列各图中,能反映y与x之间关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在菱形ABCF中,∠ABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使BE=AD,连结CD,EA,延长EA交CD于点G.
(1)求证:△ACE≌△CBD;
(2)求∠CGE的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△DEF,已EF=8,BE=3,CG=3,则图中阴影部分的面积是( )
A.12.5B.19.5C.32D.45.5
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