Question

7．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED∽△FAC，进而求出即可．

解答 （1）证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，
∴∠FED=∠A，
∵∠B+∠FED=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCA=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{2}{6}$=$\frac{3}{AC}$，
解得：AC=9，即⊙O的直径为9．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△FED∽△FAC是解题关键．