Question

2．某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y₁（单位：元），销售价y₂（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的实际意义．
（2）求线段CD所表示的y₂与x之间的函数表达式．
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）先求出销售价y₂与产量x之间的函数关系，利用：总利润=每千克利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．

解答 解：（1）点D的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元．

（2）设线段CD所表示的y₂与x之间的函数表达式为y₂=k₁x+b₁，
∵点（0，124），（140，40）在函数y₂=k₁x+b₁的图象上
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=124}\\{140{k}_{1}+{b}_{1}=40}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{3}{5}}\\{{b}_{1}=124}\end{array}\right.$，
∴y₂与x之间的函数表达式为y₂=-$\frac{3}{5}$x+124（0≤x≤140）；

（3）设线段AB所表示的y₁与x之间的函数表达式为y₁=k₂x+b₂，
∵点（0，60），（100，40）在函数y₁=k₂x+b₂的图象上
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=60}\\{100{k}_{2}+{b}_{2}=40}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{5}}\\{{b}_{2}=60}\end{array}\right.$，
∴y₁与x之间的函数表达式为y₁=-$\frac{1}{5}$x+60（0≤x≤100）
设产量为x千克时，获得的利润为W元
①当0≤x≤100时，W=[（-$\frac{3}{5}$x+124）-（-$\frac{1}{5}$x+60）]x=-$\frac{2}{5}$（x-80）²+2560，
∴当x=80时，W的值最大，最大值为2560元．
②当100≤x≤140时，W=[（-$\frac{3}{5}$x+124）-40]x=-$\frac{3}{5}$（x-70）²+2940
由-$\frac{3}{5}$＜0知，当x≥70时，W随x的增大而减小
∴当x=100时，W的值最大，最大值为2400元．
∵2560＞2400，
∴当该产品的质量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为2560元．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．