Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠CDA=∠ACB=90°，根据有两个角对应相等的两三角形相似得出△ACD∽△CBD，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD；

（2）由（1）知△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD=2×4=8，
∴CD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．