Question

已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧

BC

的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
（1）试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OA，设OA交BC于G．由

AB

=

AC

，OA过圆心O，得出OA⊥BC，再由PA∥BC，则OA⊥PA，则PA是⊙O的切线；
（2）由（1）得BG=

1

2

BC，根据勾股定理得出AG，设⊙O的半径为R，则OG=R-5．再由勾股定理求得OG．因为BD是⊙O的直径，则DC⊥BC，从而得出OG是△BCD的中位线．即可得出DC．

解答：解：（1）直线PA是⊙O的切线．理由如下：
连接OA，设OA交BC于G．
∵

AB

=

AC

，OA过圆心O，
∴OA⊥BC．
∵PA∥BC，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）∵

AB

=

AC

，
∴AB=AC，
∵OA⊥BC，
∴BG=

1

2

BC=12．
∵AB=13，
∴AG=

132-122

=5．
设⊙O的半径为R，则OG=R-5．
在Rt△OBG中，∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²，
解得，R=16.9，
∴OG=11.9．
∵BD是⊙O的直径，
∴DC⊥BC，又OG⊥BC，
∴OG∥DC，又O是BD中点，
∴OG是△BCD的中位线．
∴CD=2OG=23.8．

点评：本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了垂径定理的推论，勾股定理以及三角形的中位线定理．