Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则R的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．

解答：解：如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
由勾股定理知，AB=

AC2+BC2

=5．
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

CD•AB=

1

2

×3×4=

1

2

×5•CD，
∴CD=2.4，
即R的取值范围是2.4＜R≤3．

点评：本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．
特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．