Question

【题目】已知：如图，在矩形纸片ABCD中，，，翻折矩形纸片，使点A落在对角线DB上的点F处，折痕为DE，打开矩形纸片，并连接EF．

的长为多少；

求AE的长；

在BE上是否存在点P，使得的值最小？若存在，请你画出点P的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的长为；（3）存在，画出点P的位置如图3见解析，的最小值为．

【解析】

（1）根据勾股定理解答即可；

（2）设AE=x，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；

（3）延长CB到点G，使BG=BC，连接FG，交BE于点P，连接PC，利用相似三角形的判定和性质解答即可．

（1）∵矩形ABCD，∴∠DAB=90°，AD=BC=3．在Rt△ADB中，DB．

故答案为：5；

（2）设AE=x．

∵AB=4，∴BE=4﹣x，在矩形ABCD中，根据折叠的性质知：

Rt△FDE≌Rt△ADE，∴FE=AE=x，FD=AD=BC=3，∴BF=BD﹣FD=5﹣3=2．在Rt△BEF中，根据勾股定理，得FE2+BF2=BE2，即x2+4=（4﹣x）2，解得：x，∴AE的长为；

（3）存在，如图3，延长CB到点G，使BG=BC，连接FG，交BE于点P，连接PC，则点P即为所求，此时有：PC=PG，∴PF+PC=GF．

过点F作FH⊥BC，交BC于点H，则有FH∥DC，∴△BFH∽△BDC，∴，即，∴，∴GH=BG+BH．在Rt△GFH中，根据勾股定理，得：GF，即PF+PC的最小值为．