Question

如图．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．P为CD延长线上的一点，PQ是⊙O的切线，切点为Q．连接BQ交CD于点F．
（1）求证：PF=PQ；
（2）如果AB=4，点E为OB的中点，∠B=30°，求PD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OQ，证明∠QFP=∠FQP即可证得PF=PQ；
（2）根据垂径定理即可求得BQ的长，根据三角函数求得BF的长，证明△QFP是等边三角形，根据QP=QF=BQ-BF即可求解．

解答：（1）证明：连接OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OQP=90°，即∠OQB+∠BQP=90°，
∵弦CD⊥AB，
∴∠B+∠EFB=90°，即∠B+∠QFP=90°，
∴∠QFP=∠FQP，
∴PF=PQ；

（2）解：作OM⊥BQ于M，如图，
在直角△EFP中，BF=

BE

cos30°

=

1

3 2

=

2 3

3

，
在直角△OBM中，BM=OB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴BQ=2

3

，
∵∠B+∠EFB=90°，
∴∠EFB=60°，
∴∠QFP=∠FQP=60°，
即△QFP是等边三角形．
∴QP=QF=BQ-BF=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

．

点评：本题主要考查了垂径定理，证明△QFP是等边三角形是解题的关键．