Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．

（1）若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；

（2）若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）π或2π．

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠AOC＝∠PBC＝120°，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据全等三角形的判定即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到OA＝AD＝CD＝OC，连接OD，得到△AOD与△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD＝∠COD＝60°，求得∠BOC＝60°，同理可得另一种情况∠BOC＝120°，然后根据弧长公式即可得到结论，．

解：（1）如图1，∵AB为半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝∠PBC＝120°，

∵CP是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°，

∴∠ACO＝∠PCB，

在△PBC与△AOC中，，

∴△PBC≌△AOC（ASA）；

（2）如图1，连接OD，BD，CD，

∵四边形AOCD是菱形，

∴OA＝AD＝CD＝OC，

∵OA＝OD＝OC，

∴△AOD与△COD是等边三角形，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∴∠BOC＝60°，

∴的长＝＝π；

如图2，同理∠BOC＝120°，

∴的长＝＝2π，

综上所述，的长为π或2π．