Question

已知方程x²+ax-b=0的根是a和c，方程x²+cx+d=0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．

Answer 1

解：∵方程x²+ax-b=0的根是a和c，
∴a+c=-a，ac=-b，
∵x²+cx+d=0的根是b和d，
∴b+d=-c，bd=d，
（一）若d≠0，则由bd=d知b=1，
由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知-2a²=-1，解得a=±
当a=时，c=-得d=-c-b=-1；（1）
当a=-时c=，得d=-c-b=--1．（2）
经验证，a=，b=1，c=±，d=-1是符合条件的两组解．
（二）若d=0，则b=-c，由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知ac=c
若c=0，则a=0，这与a、b、c、d是不同的实数矛盾．
若c≠0，则a=1，再由c=-2a知c=-2，从而b=-c=2
经验证，a=1，b=2，c=-2，d=0也是符合条件的解．
分析：由一元二次方程根与系数的关系可得a、b、c、d之间的4个关系式，分d=0和d≠0两种情况讨论，解4元1次方程组即可．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系以及解方程组的有关知识，考查了学生的运算能力．