Question

【题目】已知，在中，，点为的中点．

（1）观察猜想：如图①，若点、分别为、上的点，且于点，则线段与的数量关系是_______；(不说明理由)

（2）类比探究：若点、分别为、延长线上的点，且于点，请写出与的数量关系，在图②中画出符合题意的图形，并说明理由；

（3）解决问题：如图③，点在的延长线上，点在上，且，若，求的长．(直接写出结果，不说明理由．)

Answer 1

【答案】（1）BE=AF；（2）BE=AF，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD＝BD、∠EBD＝∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE＝AF；

（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD＝∠FAD、BD＝AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE＝AF；

（3）过点M作MG∥BC，交AB的延长线于点G，同理证明△BMG≌△NMA，得到AN=GB=1,再根据等腰直角三角形求出AG的长，即可求解.

（1）证明：连接AD，如图①所示．

∵∠A＝90°，AB＝AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°．

∵点D为BC的中点，

∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝45°．

∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF．

（2）BE=AF

理由：如图②，连结AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=(180°-90°)=45°

∵BD=AD，AB=AC，

∴AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，

∴∠BAD=∠ABC，

∴AD=BD

又∠CAD=∠ABC=45°，

∴∠DAF=∠DBE=135°

∵DE⊥DF，

∴∠BDE+∠BDF=90°

又AD⊥BC，

∴∠ADF+∠BDF=90°，

∴∠BDE=∠ADF

在△BDE和△ADF中，

∴△BDE≌△ADF，

∴BE=AF

（3）如图③，过点M作MG∥BC，交AB的延长线于点G，

∵DA⊥BC，

∴AM⊥GM，

故△AMG为等腰直角三角形

∴GM=AM=2,故AG=2

∵

同（1）理可得△BMG≌△NMA，

∴AN=GB=1,

∴=AG-BG=AG-AN=.