【题目】如图,已知抛物线(m>0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
(1)若抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH的值最小,若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在第四象限内,抛物线上是否存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)点H的坐标为(1,);(3)当m=时,在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.
【解析】
(1)把点(2,2)代入中,解出m的值即可得到抛物线的解析式;
(2)由(1)中所得解析式求出点A、B、C的坐标,由题意可知,点A、B关于抛物线的对称轴对称,这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H,根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标;
(3)由解析式可得点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(m,0)和(0,2),如下图,由图可知∠ACB和∠ABM是钝角,因此存在两种可能性:①当△ACB∽△ABM,②△ACB∽△MBA,分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.
(1)把点(2,2)代入抛物线,
得2=.
解得m=4.
∴抛物线的解析式为.
(2)令,解得.
则A(-2,0),B(4,0).
对称轴x=-.
∵ 中当x=0时,y=2,
∴点C的坐标为(0,2).
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称,
∴连接BC与对称轴的交点即为点H,此时AH+CH的值最小,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(4,0),C(0,2)代入得: ,解得: ,
∴直线BC的解析式为y=.
∵当x=1时,y==.
∴点H的坐标为(1,).
(3)假设存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.
如下图,连接AC,BC,AM,BM,过点M作MN⊥x轴于点N,
由图易知,∠ACB和∠ABM为钝角,
①当△ACB∽△ABM时,有=,即.
∵A(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,
∴∠CAB=∠BAM=.
∵MN⊥x轴,∴∠BAM=∠AMN=45°,
∴AN=MN.
∴可设M的坐标为:(x,-x-2)(x>0),
把点M的坐标代入抛物线的解析式,得:-x-2=.
化简整理得:x=2m,
∴点M的坐标为:(2m,-2m-2).
∴AM=.
∵,AC=,AB=m+2,
∴.
解得:m=.
∵m>0,
∴m=.
②当△ACB∽△MBA时,有=,即.
∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=,
∴△ANM∽△BOC,∴=.
∵BO=m,设ON=x,
∴=,即MN=(x+2).
令M(x,)(x>0),
把M点的坐标代入抛物线的解析式,
得=.
解得x=m+2.即M(m+2,).
∵,CB=,MN=,
∴.
化简整理,得16=0,显然不成立.
综上所述,当m=时,在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.
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【题目】如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形CEGF是正方形;
②推断:的值为 :
(2)探究与证明:
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:
(3)拓展与运用:
正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC= .
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【题目】如图,在数轴上点表示的数为,点表示的数为,且满足,为原点.若动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动的时间为(秒) .
求的值;
当点运动到线段上时,分别取和的中点,试探究下列结论:
①的值为定值;②的值为定值,
其中有且只有一个是正确的,请将正确的选出来并求出该值;
当点从点出发运动到点时,另一动点从点出发,以每秒个单位长度的速度在间往返运动,当时,求动点运动的时间的值.
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【题目】某剧院的观众席的座位为扇形,且按下列分式设置:
排数(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
座位数(y) | 50 | 53 | 56 | 59 | … |
(1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化?
(2)写出座位数y与排数x之间的关系式;
(3)按照上表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?说说你的理由.
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【题目】如图:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下四个结论:
①AE=CF;②EF=AP;③2S四边形AEPF=S△ABC;④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合)有BE+CF=EF;上述结论中始终正确的序号有__________.
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【题目】如图,△ABC是边长为5cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)连接AQ、CP,相交于点M,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.
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【题目】为推广阳光体育“大课间”活动,我市某中学决定在学生中开设A:实心球.B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整;
(3)若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生,2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生.请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交射线BC于点F.
(1)如(图1),当AE⊥BC时,求证:DE∥AC
(2)若∠C=2∠B,∠BAD=x°(0<x<60)
①如(图2),当DE⊥BC时,求x的值.
②是否存在这样的x的值,使得△DEF中有两个角相等.若存在,并求x的值;若不存在,请说明理由.
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